احتمالات (Probability)
احتمالات به شانس وقوع یک حادثه گفته می‌شود. احتمال معمولاً مورد استفاده برای توصیف گزاره‌هایی است که ما از حقیقت آن‌ها مطمئن نیستیم. گزاره‌های مورد نظر معمولاً از فرم «آیا یک رویداد خاص رخ می‌دهد؟» و نگرش ذهن ما از فرم «چقدر اطمینان داریم که این رویداد رخ خواهد داد؟» است. میزان اطمینان ما، قابل توصیف به صورت عددی می‌باشد که این عدد مقداری بین ۰ و ۱ را گرفته و آن را احتمال می‌نامیم. هر چه یک احتمال به سمت ۱ برود ، احتمال رخ دادن آن بیشتر و هر چه به سمت ۰ صفر برود احتمال رخ دادنش کمتر خواهد بود.هر چه احتمال یک رویداد بیشتر باشد، ما مطمئن تر خواهیم بود که آن رویداد رخ خواهد داد.
اگر چه احتمالات مهم است اما احتمالات بدون دانستن بزرگی و شدت اثر نتایج حاصله، بی‌معنا هستند.
امید ریاضی (Expected value) یا مقدار انتظاری در نظریه احتمالات، مقدارِ متوسط قابل انتظاری است از یک متغیر تصادفیِ که برابر با مجموع حاصل‌ضرب احتمالِ وقوع هر یک از حالات ممکن در مقدار آن حالت است. به عبارت دیگر امید ریاضی برابر است با مقداری که به‌طور متوسط از یک فرایند تصادفی با بی‌نهایت تکرار انتظار می‌رود.
برای متغیرهای تصادفی گسسته امید ریاضی به صورت زیر محاسبه می‌شود که در آن X متغیر تصادفی ، x مقادیر ممکن ، و تابع p احتمال رخ دادن مقدار x را نشان دهد:
\(\textrm{E}[X] = \sum_{i=1}^{n}{x_ip_X(x_i)}\)با این تعریف به‌طور مثال برای تاس امید ریاضی عدد تاس برابر است با:
\(\textrm{E}[X] = \frac{1}{6}\times 1 + \frac{1}{6}\times 2 + \frac{1}{6}\times 3 + \frac{1}{6}\times 4 + \frac{1}{6}\times 5 + \frac{1}{6}\times 6 = 3.5\)از نیکلاس نسیم طالب درباره نظراتش در مورد بازار پرسیدند. طالب پاسخ داد که او معتقد است (مانند بقیه بازار) احتمال زیادی وجود دارد که بازار در هفته آینده به سمت بالا حرکت کند. شخص برای توضیحات بیشتر او را تشویق کرد - بنابراین طالب شانس ۷۰ درصدی را برای بازار رو به بالا قرار داد. ناگهان - معامله‌گر دیگری وارد شد و پوزیشن فروش استقراضی (شورت) اون را بر روی بازار (S&P 500) خاطر نشان کرد (به این معنی که او از حرکت به سمت پایین بازار سود خواهد برد). این یک تناقض شدید به نظر او برای «شانس بالا برای رشد بازار» بنظر می‌رسید. به عبارت دیگر - چرا طالب در شرایطی که احتمال افزایش بازار را بالا می‌دید، بر روی یک بازار رو به کاهش شرط بندی کرده بود؟ او روند فکری خود را با عبارات (Expected Value) روشن کرد. اگرچه او بر این باور بودند که محتمل‌ترین نتیجه این است که بازار رو به بالا خواهد بود - شانس پایین کاهش بازار یک فرصت نامتقارن ایجاد می‌کرد که شرط‌بندی بر روی آن را منطقی و سودآور‌تر نشان می‌داد.
به عنوان یک مثال ملموس تر، یک بازی را تصور کنید که با پرتاب یک تاس و آمدن ۶ شما هزار دلار برنده می‌شوید در حالیکه در صورت آمدن هر عدد دیگری یک دلار ضرر می‌کنید. اگر چه احتمال پیروزی شما ۱/۶ است و احتمال شکست ۵ برابر آن است (۵/۶) اما بنابر تعریف امید ریاضی: \(5/6 \times 1 \leq 1/6 \times 1000\) که به معنی است که شرکت در بازی منطقی می‌باشد.