مدل بلک-شولز (Black-Scholes)
مدل بلک-شولز مدلی ریاضی است که برآوردی نظری از قیمت اختیارات سبک اروپایی را به دست می‌دهد.
قیمت‌گذاری یک قرارداد اختیار خرید به سه عامل اثرگذار وابسته‌است:
- تفاوت قیمت توافقی آن اختیار معامله و سهم پایه
- تعداد روزهای باقیمانده به انقضا
- نوسان پذیری انتظاری آن سهم در روزهای باقیمانده
طبیعی است که قیمت اختیار معامله‌های پر نوسان، گران تر از قیمت قرارداد اختیار معامله‌های با نوسانات کم هستند.
در مدل بلک شولز پارامتر‌های زیر برای محاسبه قیمت استفاده می‌شود:
- قیمت سهم پایه
- قیمت اعمال
- نرخ نوسانپذیری سهم پایه (Historical-Volatility)
- نرخ‌بهره بدون ریسک (یا بازده مورد انتظار)
- مدت زمان باقیمانده تا سررسید
- نرخ سود نقدی
برای قیمت‌گذاری اختیار معامله در دوره‌های زمانی پیوسته از مدل بلک-شولز استفاده می‌کنیم. مفروضات این مدل عبارت است از:
- قیمت دارایی پایه در طول زمان از تابع توزیع احتمال لگاریتمی نرمال برخوردار است. توزیع احتمال لگاریتمی نرمال به معنای آن است که لگاریتم بازده دارای توزیع نرمال است. به عنوان مثال، چنانچه قیمت سهم از ۱۰۰ به ۱۱۰ تغییر یابد، بازده ۱۰ درصد بوده اما لگاریتم بازده Ln(۱.۱۰)=۰.۰۹۵۳ یا ۹.۵۳ درصد است.
- نرخ بازده بدون ریسک معلوم و ثابت است. مدل بلک-شولز نرخ بازده بدون ریسک را به صورت یک مقدار ثابت در نظر می‌گیرد. در این مدل، نرخ‌های بهره نمی‌تواند متغیرهای تصادفی باشد.
- نوسانات دارایی پایه معلوم و ثابت است. نوسانات دارایی پایه که بر حسب انحراف معیار بازده لگاریتمی بیان می‌شود، در تمامی نقاط زمانی مقداری معلوم فرض می‌شود و در طول عمر اختیار معامله تغییر نمی‌کند. در دنیای واقعی، نوسانات معلوم نبوده و باید آن را تخمین زد و یا از سایر منابع استخراج کرد.
- مالیات و هزینه‌های معاملاتی وجود ندارد. فرض اخیر در قیمت‌گذاری کلیه ابزارهای مشتقه برقرار است. وجود مالیات و هزینه‌های معاملاتی موجب پیچیده شدن مدل خواهد شد.
- جریان‌های نقدی دارایی پایه صفر است. شکل ساده مدل بلک-شولز بر پایۀ این فرض قرار دارد که دارایی پایه در طول عمر اختیار معامله فاقد جریان‌های نقدی است.
- اختیار معامله از نوع اروپایی است. مدل بلک-شولز فقط برای قیمت‌گذاری اختیار معاملۀ اروپایی طراحی شده و برای قیمت‌گذاری اختیار معامله آمریکایی مناسب نیست. بهترین روش برای قیمت‌گذاری اختیار معاملۀ آمریکایی همان روش دو جمله‌ای است که در تعداد دوره‌های زمانی افزایش یافته باشد.