احتمالات Probability
احتمال به میزان شانس وقوع یک رویداد گفته می‌شود. احتمال معمولاً برای توصیف گزاره‌هایی به کار می‌رود که از درستی آن‌ها مطمئن نیستیم. گزاره‌های مورد نظر معمولاً به شکل «آیا یک رویداد خاص رخ می‌دهد؟» و پرسش ذهن ما به شکل «چقدر اطمینان داریم که این رویداد رخ خواهد داد؟» است. میزان اطمینان ما را می‌توان با عددی بین ۰ و ۱ توصیف کرد که آن را احتمال می‌نامیم. هرچه احتمال یک رویداد به ۱ نزدیک‌تر باشد، رخ دادن آن محتمل‌تر و هرچه به ۰ نزدیک‌تر باشد، رخ دادنش نامحتمل‌تر است. هر چه احتمال یک رویداد بیشتر باشد، ما مطمئن‌تر خواهیم بود که آن رویداد رخ خواهد داد.
اگرچه احتمالات مهم‌اند، بدون دانستن بزرگی و شدت اثر نتایج، بی‌معنا هستند.
امید ریاضی Expected value یا مقدار انتظاری در نظریه احتمالات، مقدارِ متوسط قابل انتظاری است از یک متغیر تصادفی که برابر با مجموع حاصل‌ضرب احتمالِ وقوع هر یک از حالات ممکن در مقدار آن حالت است. به عبارت دیگر امید ریاضی برابر است با مقداری که به‌طور متوسط از یک فرایند تصادفی با بی‌نهایت تکرار انتظار می‌رود.
برای متغیرهای تصادفی گسسته امید ریاضی به صورت زیر محاسبه می‌شود که در آن X متغیر تصادفی ، x مقادیر ممکن ، و تابع p احتمال رخ دادن مقدار x را نشان می‌دهد:
\(\textrm{E}[X] = \sum_{i=1}^{n}{x_ip_X(x_i)}\)با این تعریف به‌طور مثال امید ریاضی عدد یک تاس برابر است با:
\(\textrm{E}[X] = \frac{1}{6}\times 1 + \frac{1}{6}\times 2 + \frac{1}{6}\times 3 + \frac{1}{6}\times 4 + \frac{1}{6}\times 5 + \frac{1}{6}\times 6 = 3.5\)از نیکلاس نسیم طالب دربارهٔ نظرش در مورد بازار پرسیدند. طالب پاسخ داد که معتقد است (مانند بقیهٔ بازار) احتمال زیادی وجود دارد که بازار در هفتهٔ آینده به سمت بالا حرکت کند. پرسش‌کننده از او توضیح بیشتری خواست و طالب احتمال ۷۰ درصد را برای حرکت رو به بالای بازار اعلام کرد. ناگهان معامله‌گر دیگری وارد شد و به موقعیت فروش استقراضی (شورت) طالب بر روی شاخص S&P 500 اشاره کرد (یعنی طالب از حرکت رو به پایین بازار سود می‌برد). این موضوع با «شانس بالای رشد بازار» در تناقض شدید به نظر می‌رسید. به عبارت دیگر، چرا طالب در شرایطی که احتمال افزایش بازار را بالا می‌دید، بر روی کاهش بازار شرط‌بندی کرده بود؟ او روند فکری خود را با مفهوم امید ریاضی Expected Value روشن کرد. اگرچه او بر این باور بود که محتمل‌ترین نتیجه، حرکت رو به بالای بازار است، اندازهٔ بزرگ افت احتمالی بازار (با وجود شانس کم آن) یک فرصت نامتقارن ایجاد می‌کرد که شرط‌بندی بر روی آن را منطقی‌تر و سودآورتر نشان می‌داد.
به عنوان یک مثال ملموس‌تر، یک بازی را تصور کنید که با پرتاب یک تاس و آمدن ۶ شما هزار دلار برنده می‌شوید در حالی که در صورت آمدن هر عدد دیگری یک دلار ضرر می‌کنید. اگرچه احتمال پیروزی شما ۱/۶ است و احتمال شکست ۵ برابر آن است (۵/۶)، بنابر تعریف امید ریاضی: \(5/6 \times 1 \leq 1/6 \times 1000\) که به این معنی است که شرکت در بازی منطقی است.